Two special cases of the Rational Shuffle Conjecture

The Classical Shuffle Conjecture of Haglund et al. (2005) has a symmetric function side and a combinatorial side. The combinatorial side q, t-enumerates parking functions in the n × n lattice. The symmetric function side may be simply expressed as∇en, where∇ is the Macdonald eigen-operator introduced by Bergeron and Garsia (1999) and en is the elementary symmetric function. The combinatorial side has been extended to parking functions in the m × n lattice for coprime m,n by Hikita (2012). Recently, Gorsky and Negut have been able to extend the Shuffle Conjecture by combining their work (2012a, 2012b, 2013) (related to work of Schiffmann and Vasserot (2011, 2013)) with Hikita’s combinatorial results. We prove this new conjecture for the cases m = 2 and n = 2. Résumé. La Conjecture “Shuffle” Classique de Haglund et al. (2005) présente un côté fonctions symétriques et un côté combinatoire. Le côté combinatoire q, t-énumère les fonctions parking dans le n × n treillis. Le côté fonction symétriques peut être simplement exprimé comme ∇en, où ∇ est le Macdonald eigen-opérateur introduit par Bergeron et Garsia (1999) et en est la fonction symétrique élémentaire. Le côté combinatoire a été étendu aux fonctions parking dans le m × n treillis pour coprime m,n par Hikita (2012). Récemment, Gorsky et Negut ont pu étendre la Conjecture Shuffle en reliant leur travail (2012a, 2012b, 2013) avec le travail de Schiffmann et Vasserot (2011, 2013) et avec des résultats combinatoires de Hikita. Nous prouvons cette nouvelle conjecture pour les cas m = 2 et n = 2.